En 2018-2019 le cours portera sur l'étude des surfaces de Riemann compactes et leur lien avec la théorie des courbes algébriques.  Riemann fut le premier à comprendre que des fonctions algébriques comme "racine carrée de z" sont bien définies et méromoprhes sur un revêtement ramifié du plan complexe auquel on a ajouté un point à l'infini. La notion ne fut clarifiée qu'une cinquantaine d'années plus tard par Hermann Weyl, qui le premier introduisit la notion de variété abstraite. Nous étudierons les thèmes suivants dans le cours:

1. Notion de surface de Riemann abstraite, construction de la sphère de Riemann.

2. Construction de la surface de Riemann d'une fonction algébrique, calcul du genre.

3.  Courbes elliptiques.

4. Applications à la physique mathématique.

Le cours sera illustré par de nombreux exemples tirés en particulier de la théorie des courbes elliptiques, qui topologiquement sont des tores à un trou (surfaces de Riemann de genre 1).

Aujourd'hui, les surfaces de Riemann et les courbes algébriques jouent un rôle fondamental dans la théorie des systèmes intégrables, en théorie quantique des champs et en théorie des nombres. Certains de ces thèmes seront abordés en master dans le cadre du cours LMAT2260.